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Der Differentialquotient (Ableitung)
 
   
 
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Allgemeines

Der Differentialquotient (gemeinhin auch Ableitung genannt) ist ein Begriff aus der höheren Mathematik, der in der Technik häufig verwendet wird. Um zu verstehen, was ein Differentialquotient ist und wozu man ihn braucht, muß man jedoch keine höhere Mathematik beherrschen. Das Differenzieren einer Funktion oder gar das Rechnen mit Differentialgleichungen ist natürlich eine ganz andere Sache; hierzu sind mindestens Kenntnisse aus der gymnasialen Oberstufe erforderlich. Aber um Dinge grob zu verstehen, muß man selten rechnen. Vielmehr reicht hierfür das Verständnis der grundlegenden Funktionsweise. Nachfolgend wird daher mit einfachen Worten erklärt, was ein Differential bzw. ein Differentialquotient ist und wofür man ihn braucht.


Grundlagen: Was ist ein Differentialquotient?

Das Differential bzw. der Differentialquotient ist nichts anderes als die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt. Das war's auch schon! In Bild 1 ist dies am Beispiel einer Funktion f(x) dargestellt. Hier ist die Steigung am Punkt P = f(x1) als rote Gerade eingezeichnet.

Differential
Bild 1: Ableitung in einem Punkt

Die Steigung dieser rot dargestellten Gerade repräsentiert den Differentialquotienten im Punkt x1. Dies kann man graphisch recht einfach durchführen. Wenn man für jeden Punkt der Funktion f(x) die Steigung bestimmt, erhält man eine Funktion f'(x), die man als Ableitung der Funktion f(x) bezeichnet. Man beachte den Apostrophen, der die Ableitung einer Funktion kennzeichnet. Mathematisch schreibt sich das Ganze so:

Differentialformel dy/dx

Der Differentialquotient (=Ableitung) ist also nichts anderes als eine Funktion, die die Steigung einer anderen Funktion in jedem Punkt beschreibt. Das bedeutet, daß für jedes x die Funktion f'(x) die Steigung der Funktion f(x) für genau dieses x liefert.

Lassen Sie sich von der mathematischen Darstellung bloß nicht abschrecken! Wer noch nie eine Differentialdarstellung gesehen hat, wird wahrscheinlich gleich die Flinte ins Korn werfen wollen. Aber es ist lediglich eine Darstellung, die man kennenlernen muß. Es ist wirklich nicht schwierig. Verständlich wird das Ganze sofort, wenn man den Buchstaben d (wie differential) durch ein Δ (= Delta) ersetzt. Der griechische Buchstabe Δ wird in der Mathematik und Physik üblicherweise für Differenzen verwendet. Damit ergibt sich folgende mathematische Darstellung:

Differentialformel deltay/deltax

Dieser Ausdruck besagt, daß man eine Differenz von y (also y2-y1) durch eine Differenz von x (also x2-x1) teilt. Eine Differenz kann man auch anders schreiben, nämlich als Δy = y2 - y1 bzw. Δx = x2 - x1. Graphisch bedeutet das nichts anderes, als eine Sekante an die Funktion f(x) anzulegen. Das Ganze sei anhand einer Graphik verdeutlicht:

Differential
Bild 2: Sekante an einer Funktion

Das Problem dabei ist, daß das Δ endlich ist, d.h. man bekommt lediglich die mittlere Steigung für einen kleinen Bereich Δ, der zwischen x1 und x2 liegt. Die echte Steigung für einen einzigen Punkt bekommt man, indem man das Δ sehr, sehr klein wählt. Mathematisch nicht ganz korrekt sagt man umgangssprachlich oft "unendlich klein", denn dann nähert sich x2 beliebig nahe an x1 an. Die Differenz zwischen x2 und x1 wird so infinitesimal klein (="unendlich klein"), aber sie wird nicht Null. Die Differenz y2 - y1 wird dabei zwar auch infinitesimal klein, aber der Quotient aus diesen beiden extrem kleinen Zahlen repräsentiert exakt die Steigung. Die Steigung kann dabei beliebige Werte annehmen, also auch Null sein oder negative Werte annehmen.

Wenn man eine Differenz Δ infinitesimal klein wählt, verwendet man dafür in der Mathematik den Buchstaben d, angelehnt an die Bezeichnung Differential, die man für "unendlich kleine" Differenzen verwendet. Somit ändert sich die Schreibweise von Δy bzw. Δy in dx bzw. dy, womit wir bei der schon oben gezeigten Schreibweise angelangt sind:

Differentialformel dy/dx

Man sagt auch, daß man y nach x differenziert. Die formelmäßige Darstellung mag zwar also Nichtmathematiker vielleicht abschrecken, aber zu verstehen, was sich dahinter verbirgt, ist im Grunde sehr einfach. Das Berechnen ist natürlich eine deutlich kompliziertere Sache, für die man profunde Mathematikkenntnisse benötigt. Diese Kenntnisse zu vermitteln, würde den Rahmen dieser WebSite deutlich sprengen. Aber in den meisten Fällen genügt es, wenn man versteht, worum es grob geht.

Der Differentialquotient ist übrigens ein zum  Integral komplemenärer Operator. Dies bedeutet, wenn man eine Funktion f(x) zuerst nach dx integriert und dann nach dx differenziert, erhält man wieder die Ursprungsfunktion f(x). Gleiches gilt, wenn man sie zuerst differenziert und dann integriert. Ob das Koordinatensystem dabei durch x und y gebildet wird (Mathematikunterricht!), Weg s und Zeit t (Physikunterricht) oder andere Größen, ist dabei völlig egal.


Wofür braucht man Differentialquotienten?

Wenn der Praxisbezug fehlt, ist die trockene Theorie immer ziemlich langweilig, und man versteht den Sinn nicht wirklich. Das wollen wir hier nachholen, und zwar am Beispiel eines Autos. Zum Zeitpunkt t=0 startet es aus dem Stand und beschleunigt auf ebener Strecke mit Vollgas bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit. Der Einfachheit halber wollen wir annehmen, daß es sich um ein Fahrzeug mit stufenlosem Getriebe handelt, damit das Auto stetig beschleunigt (ansonsten würde der Beschleunigungsvorgang mehrfach durch Schaltpausen unterbrochen). Wenn man den zurückgelegten Weg graphisch aufträgt, ergibt sich folgende Funktion:

Differential
Bild 3: Weg über Zeit

Zuerst einmal wird pro Zeiteinheit wenig Strecke zurückgelegt. Das ist auch verständlich, denn im ersten Moment steht das Fahrzeug noch und besitzt kurz nach dem Anfahren nur eine geringe Geschwindigkeit. Die zurückgelegte Strecke steigt mit zunehmender Geschwindigkeit immer schneller an, bis sich eine weitgehend konstante Steigung einstellt, wenn nahezu die Endgeschwindigkeit des Autos erreicht ist.

Nehmen wir an, wir haben die Funktion s(t) mit einem Notebook im Auto aufgezeichnet. Dann kann uns das Notebook mit der oben beschriebenen Methode der Differenzenbildung und Berechnung der Steigung die Ableitung der Funktion s(t) berechnen. Heraus kommt eine Funktion v(t) = s'(t) wie in Bild 4:

Differential
Bild 4: Geschwindigkeit über Zeit

Wenn man den Weg über die Zeit differenziert, also ds/dt bildet, dann erhält man die aktuelle Fahrgeschwindigkeit v(t) = s'(t) zu jedem Zeitpunkt t. Der Unterschied zur sicher bekannten Formel v = s/t (Geschwindigkeit ist Weg durch Zeit) ist, daß die Formel nur einen einzigen Wert ausspuckt,und zwar den Mittelwert über die gesamte Zeit t, die in die Formel eingesetzt wird. Bei der Berechnung von s'(t) erhält man jedoch eine neue Funktion v(t), d.h. die Geschwindigkeit zu jedem beliebigen Zeitpunkt. Wie man sieht, steigt die Geschwindigkeit beim Anfahren erst einmal schnell an. Mit zunehmender Zeit (und Geschwindigkeit) flacht die Geschwindigkeitszunahme pro Zeiteinheit immer weiter ab und wird im Bereich kurz vor der Höchstgeschwindigkeit sehr klein. Dieses Verhalten entspricht ganz den Erwartungen.

Das Spiel kann man jedoch noch weiter fortsetzen und die Ableitung der Funktion v(t) bilden und erhält dann die Funktion a(t) = v'(t), wie in Bild 5 dargestellt:

Differential
Bild 5: Beschleunigung über Zeit

Wie die Bildunterschrift erahnen läßt, handelt es sich bei der Ableitung der Geschwindigkeit um die Beschleunigung. Auch hier erhält meine Funktion a(t) mit Beschleunigungswerten zu jedem beliebigen Zeitpunkt anstatt nur einen Mittelwert wie bei der bekannten Formel a = v/t. Während v(t) die erste Ableitung von s(t) ist, ist a(t) die zweite Ableitung von s(t). Man kann dies mathematisch auch als a(t) = s''(t) schreiben. Ein Apostroph bedeutet wie schon beschrieben eine Ableitung und zwei Apostrophen demnach zwei Ableitungen hintereinander. Sie sehen also, daß Differentialquotienten bzw. Ableitungen von Funktionen keine rein mathematische Spielerei sind, sondern einen physikalischen Hintergrund besitzen.

In jedem einigermaßen modernen Auto wird dieser Zusammenhang ausgenutzt, um aus den Raddrehzahlsignalen (was de facto eine Wegmessung darstellt) die Geschwindigkeit und die Beschleunigung zu berechnen. Allerdings werden hier keine kompletten Funktionen berechnet und abgespeichert, sondern es interessiert hier nur der Momentanwert. Der Wert, der auf dem Tacho angezeigt wird, ist dabei der prominenteste Nutznießer der so berechneten Geschwindigkeit. Abweichungen zwischen Tachoanzeige und realer Geschwindigkeit sind dabei nebenbei bemerkt nicht durch die Mathematik verschuldet, sondern auf Fehler in der Wegmessung zurückzuführen. Diese Fehler kommen dadurch zustande, daß der aktuelle Abrollumfang der Reifen wegen unvermeidlicher Herstelltoleranzen, unbekanntem Profilabnutzungsgrad und weiterer Faktoren nicht präzise bekannt ist.


Komplementär

Wie so oft in der Mathematik, besitzt das Differential ein Komplementär, d.h. salopp gesagt eine Rechenvorschrift, die genau das Umgekehrte macht wie das Differential. Man nennt diese Rechenvorschrift  Integral. Wenn man Integration und Differentiation hintereinander ausführt, d.h. eine Funktion f(x) nach dx differenziert und dann nach dx integriert oder umgekehrt, erhält man wieder die ursprüngliche Funktion f(x).

Im Beispiel oben bedeutet dies, daß man nicht nur Geschwindigkeit und Beschleunigung aus dem Weg s(t) im wahrsten Sinne des Wortes ableiten sondern auch den umgekehrten Weg gehen kann. Man kann daher mit einem Beschleunigungsmeßgerät die Beschleunigung a(t) messen und mittels Integration nach dt die Geschwindigkeit v(t) und daraus nach weiterer Integration nach dt den Weg s(t) berechnen. Auf diesem Prinzip basiert übrigens das Trägheitsnavigationssystem von Flugzeugen und anderen Flugkörpern, bei denen es keine Möglichkeit gibt, die Geschwindigkeit über Grund oder den Weg über Grund mit ausreichender Genauigkeit zu messen. Daher berechnet man aus der gemessenen Beschleunigung den in allen 3 Achsen (Länge, Breite und Höhe) zurückgelegten Weg seit dem Start und damit die aktuelle Position. Vor Einführung des Positionsbestimmungssystems GPS war das damals der einzige Weg für einen Flugkörper, seine Position selbst zu bestimmen.
  

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