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Inhalt:
Allgemeines
Grundlagen: Was ist ein Integral?
Grundlegendes
Negative Integrale
Praxisbeispiel
Komplementär
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Allgemeines

Das Integral ist ein Begriff aus der höheren Mathematik, der in der Technik häufig verwendet wird. Um zu verstehen, was ein Integral ist und wozu man es braucht, muß man jedoch keine höhere Mathematik beherrschen. Das Rechnen mit Integralen ist natürlich eine ganz andere Sache; hierzu sind Kenntnisse aus der gymnasialen Oberstufe erforderlich. Aber um Dinge grob zu verstehen, muß man selten rechnen. Vielmehr reicht hierfür das Verständnis der grundlegenden Funktionsweise. Nachfolgend wird daher mit einfachen Worten erklärt, was ein Integral ist und wofür man es braucht.


Grundlagen: Was ist ein Integral?

Grundlegendes

Ein Integral ist im Grunde nichts anderes als die Fläche unter einer Funktion, und zwar zwischen zwei Punkten auf der x-Achse. In Bild 1 ist dies exemplarisch zu sehen:

Integral
Bild 1: Integral einer Funktion

Es handelt sich hierbei bei der blau dargestellten Funktion y = f(x) um eine Funktion, deren y-Wert in irgendeiner Weise (die im Moment nicht von Interesse ist) von x abhängt. Es ergibt sich so der exemplarisch gezeigte Graph in einem sogenannten x/y-Diagramm, das Sie sicher noch aus der Schule kennen. Das Integral zwischen x1 und x2 ist einfach die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f(x). Das ist auch schon alles! Mathematisch schreibt sich das Ganze so:

Integralformel

Lassen Sie sich von der mathematischen Darstellung bloß nicht abschrecken! Wer noch nie eine Integraldarstellung gesehen hat, wird wahrscheinlich gleich die Flinte ins Korn werfen wollen. Aber es ist lediglich eine Darstellung, die man kennenlernen muß. Es ist wirklich nicht schwierig. Diese Gleichung besagt lediglich, daß die Fläche A sich aus dem Integral der Funktion f(x) zwischen x1 und x2 berechnet. Das "dx" beschreibt, nach welchem Wert integriert werden soll; hier ist es x.

Die geschwungene Linie ist das Integralzeichen. Dahinter steht die zu integrierende Funktion (hier f(x)) mit der Angabe, nach welcher Variablen integriert werden soll (hier dx). Unter und über dem Integralzeichen stehen die Grenzen, von wo bis wohin integriert werden soll. Das ist auch schon alles. Diese Formel gibt in mathematischer Schreibweise das wieder, was in Bild 1 grafisch dargestellt ist, nämlich die Fläche unter dem Funktionsgraphen zwischen x1 und x2.

Aber wie kommt man zu dieser Darstellung und wie berechnet man sie? Man kann als Annäherung die x-Achse zwischen x1 und x2 in viele gleichgroße Teile Δx aufteilen und dann für jeden Teilbereich Δx das Produkt aus f(x) und Δx berechnen, wodurch sich jeweils die Fläche eines Rechtecks ergibt. In Bild 2 ist dies exemplarisch für einen Wert dargestellt:

Integralannäherung
Bild 2: Integralannäherung einer Funktion

Wenn man die einzelnen Flächen zusammenrechnet, erhält man als Ergebnis die Gesamtfläche unter dem Funktionsgraphen zwischen x1 und x2. In mathematischer Schreibweise schreibt man das so:

Summenformel

Da sich durch die endliche Breite der Rechtecke kein glatter Funktionsverlauf sondern ein treppenförmiger Verlauf ergibt, der immer ein bißchen vom wahren Verlauf abweicht, handelt es sich nur um eine Näherung. Den Fehler kann man aber dadurch verringern, indem man die Breite Δx der Rechtecke sehr klein wählt, damit auch die Stufen und damit die Abweichung von der realen Funktion klein werden. Wenn man den Bereich zwischen x1 und x2 in unendlich viele Teile unterteilt, wird die Breite infinitesimal klein. Dadurch werden die Stufen ebenfalls infinitesimal klein und damit der Fehler Null. Während man in der Mathematik für Differenzwerte das Deltazeichen Δ verwendet, benutzt man für Infinitesimalwerte ein vorangestelltes "d". Aus Δx wird somit dx. Statt des Summenzeichens ∑ verwendet man bei Infinitesimalwerten das Integralzeichen ∫. Somit kommt man zur schon eingangs gezeigten mathematischen Darstellung:

Integralformel

Die formelmäßige Darstellung mag zwar also Nichtmathematiker vielleicht abschrecken, aber zu verstehen, was sich dahinter verbirgt, ist im Grunde sehr einfach. Das Berechnen ist natürlich eine deutlich kompliziertere Sache, für die man profunde Mathematikkenntnisse benötigt. Diese Kenntnisse zu vermitteln, würde den Rahmen dieser WebSite deutlich sprengen. Aber in den meisten Fällen genügt es, wenn man versteht, worum es grob geht.


Negative Integrale

Bei der Überschrift "negative Integrale" werden Sie sich möglicherweise fragen, wie ein Integral überhaupt negativ werden kann, da es doch einer Fläche entspricht. Und negative Flächen hat noch niemand gesehen. Genaugenommen ist ein Integral nicht die Fläche unter einem Funktionsgraphen sondern genauer gesagt die Fläche zwischen Funktionsgraph und der Diagrammachse. Befindet sich der Funktionsgraph auf der positiven Seite (also oberhalb der Achse), zählt die Fläche als positiv. Ist er auf der negativen Seite (also unterhalb der Achse), zählt die Fläche als negativ.

Integral mit negativen Funktionswerten
Bild 3: Integral einer Funktion mit negativen Funktionswerten

In obigem Beispiel berechnet sich das Integral von x1 bis x2, indem man die Flächen A1 und A3 zusammenzählt und davon die Fläche A2 abzieht, also A = A1 - A2 + A3 (bei der Berechnung von Integralen passiert dies übrigens automatisch). Wenn eine Funktion mal negativ und mal positiv ist, kann es durchaus sein, daß die Fläche unter der Kurve recht groß, der Wert des Integrals aber recht klein oder sogar negativ ist.


Praxisbeispiel für die Anwendung eines Integrals

Integrale werden in der Technik nicht aus Selbstzweck verwendet, sondern weil sich damit Praxisprobleme lösen lassen. Dies sei an einem sehr einfachen Beispiel dargestellt. Wenn man einen Wasserhahn aufdreht und das Wasser mit der maximalen Öffnung fließen läßt, kann man sehr leicht berechnen, welche Wassermenge zwischen zwei verschiedenen Zeitpunkten herausgeflossen ist: Die Durchflußrate ist konstant, weshalb man lediglich die Durchflußrate mit der Zeitdauer multiplizieren muß. Hinter dieser einfachen Rechenregel steckt im Grunde ein Integral, ohne daß es die meisten Leute überhaupt bemerken. In Bild 4 ist dies dargestellt:

Konstante Durchflußrate
Bild 4: Konstante Durchflußrate

In diesem Beispiel wird ab Starten der Stoppuhr der Wasserhahn schnell aufgedreht. Im ersten Moment ist die Durchflußrate noch 0 Liter pro Sekunde, d.h. es fließt gerade noch kein Wasser. Sie steigt dann sehr schnell an und erreicht ihren Endwert, sobal der Wasserhahn voll geöffnet ist. In diesem Beispiel erreicht sie innerhalb kürzester Zeit den Endwert von konstant 1 Liter pro Sekunde. Wenn man wissen will, wieviel Wasser zwischen exakt 2 und 4 Sekunden nach dem Aufdrehen aus dem Hahn geflossen sind, muß man die Fläche unter dem Funktionsgraphen berechnen. Um dies zu tun, braucht man keine höhere Mathematik, denn die Fläche ist rechteckförmig. Sie berechnet sich daher, indem man Höhe und Breite des Rechtecks miteinander multipliziert. Die "Höhe" ist in diesem Fall die Durchflußrate, die "Breite" die Zeitdauer. 1 Liter pro Sekunde multipliziert mit 2 Sekunden ergibt 2 Liter.

Vielleicht werden Sie sich fragen, wozu man sich mit Integralrechnung befassen soll, wo es doch eine einfache Formel gibt, wie man die Wassermenge auch ohne Integral berechnen kann (nämlich Durchflußmenge mal Zeitdauer). Das mag für die Praxis in diesem sehr einfachen Fall zutreffen, aber man sollte im Hinterkopf behalten, daß diese einfache Formel das Ergebnis eines Integrals ist. Die Formel fällt nämlich keineswegs vom Himmel sondern ist genau die oben genannte Flächenberechnung. Hier hat also jemand anders sich mit Integralrechnung befaßt und für den Spezialfall einer konstanten Durchflußrate eine einfache Formel berechnet.

Etwas schwieriger wird es, wenn der Wasserhahn langsam aufgedreht wird. Wenn man die Wassermenge wissen will, die während des Aufdrehens herausfließt, liefert ein Integral sehr schnell und leicht die Lösung. Zunächst sei einmal angenommen, daß der Wasserhahn langsam und kontinuierlich aufgedreht wird, d.h. daß die Durchflußrate linear zunimmt, und daß die maximale Durchflußrate, die durch den Rohrdurchmesser begrenzt wird, im zu untersuchenden Zeitraum nicht erreicht wird. Die Funktion der Durchflußrate sieht dann wie folgt aus:

Linear steigende Durchflußrate
Bild 5: Linear steigende Durchflußrate

Hier steht man vor dem Problem, daß man mit der obigen einfachen Formel nichts mehr anfangen kann. Aber wie wäre es mit einer Funktion, deren Wert zu jedem Zeitpunkt der Fläche unter dem Funktionsgraphen sprich dem Integral entspricht? Eine solche Funktion existiert zu den meisten bekannten Funktionen. Aber zunächst einmal braucht man die Funktion der Durchflußrate in Abhängigkeit von der Zeit. Die Durchflußrate beim Starten der Stoppuhr beträgt 0 l/s (d.h. Wasserhahn komplett geschlossen) und steigt danach linear an; nach 5 Sekunden wird im Beispiel eine Durchflußrate von 1 l/s erreicht. Damit lautet die Funktion der Durchflußrate in Abhängigkeit von der Zeit:

D(t) = 1/5 l/s * t

Zu dieser Funktion D(t) müssen wir eine andere Funktion W(t) finden, die zu jedem Zeitpunkt angibt, wie groß die Fläche unter dem Funktionsgraphen der Funktion D(t) seit Starten der Stoppuhr ist. Es bedarf leider höherer Mathematik zu erklären, auf welche Weise man zu dieser Funktion kommt. Daher sei hier ohne Herleitung die Lösung präsentiert: Wenn man die Funktion f(x) = x integriert (also die Funktion bildet, die die Fläche unter f(x) angibt), kommt 1/2 * x2 heraus. Da unsere Funktion D(t) nicht von x sondern von t abhängig ist, muß man x durch t ersetzen und erhält unter Berücksichtigung des Faktors "1/5 l/s" als Resultat:

W(t) = 1/5 l/s * 1/2 * t2 = 1/10 l/s * t2

Diese Funktion beschreibt den gesamten Wasserdurchfluß seit Starten der Stoppuhr sprich Aufdrehen des Wasserhahns. Man muß also nur die Anzahl der Sekunden seit Aufdrehen des Wasserhahns in die Funktion als Wert für t einsetzen und erhält sofort als Ergebnis die gesamte durchgelaufene Wassermenge. Bildlich dargestellt sieht die Funktion so aus:

Linear steigende Durchflußrate
Bild 6: Wassermenge bei linear steigender Durchflußrate

Im obigen Fall wollten wir wissen, wieviel Wasser zwischen 2 und 4 Sekunden nach dem Aufdrehen durchfließt. Da die Funktion W(t) immer die Gesamtmenge seit dem Aufdrehen beschreibt (also von 0 bis 4 Sekunden), muß man die Wassermenge, die zwischen 0 und 2 Sekunden durchfließt, von diesem Wert abziehen. Hierzu muß man einfach den Wert von W(t) bei 4 Sekunden berechnen und davon den Wert bei 2 Sekunden abziehen. Als Ergebnis erhält man:

W(t=2s..4s) = W(t=4s) - W(t=2s) = 1,6 l - 0,4 l = 1,2 l

Zugegeben, zum selben Ergebnis wäre man gekommen, wenn man diese Aufgabe geometrisch gelöst hätte: Der lineare Anstieg der Durchflußrate in Bild 4 bildet nämlich ein Dreieck. Nach 4 Sekunden wird eine Durchflußrate von 0,8 l/s erreicht. Wenn Sie von Anfang an 0,8 l/s betragen hätte, wäre die Gesamtwassermenge 3,2 l. Da sie hier aber linear ansteigt, beträgt sie nur die Hälfte, also 1,6 l. Auch von diesem Wert muß man die Wassermenge zwischen 0 und 2 Sekunden abziehen: Nach 2 Sekunden sind 0,4 l/s erreicht. Wenn dies Durchflußmenge von Anfang an 0,4 l/s betragen hätte, würde sich eine Wassermenge von 0,8 l ergeben. Wegen des linearen Anstiegs beträgt sie 0,4 l. Die Differenz ergibt 1,6 l - 0,4 l = 1,2 l, also der gleiche Wert wie oben.

Mit "konventionellen" Mitteln sprich geometrischen Mitteln kann man sich jedoch nicht mehr behelfen, wenn der Anstieg der Durchflußrate nicht linear erfolgt sondern beispielsweise quadratisch. Hier hilft dann nur noch die Integralrechnung weiter.


Komplementär

Wie so oft in der Mathematik, besitzt das Integral ein Komplementär, d.h. salopp gesagt eine Rechenvorschrift, die genau das Umgekehrte macht wie das Integral. Man nennt diese Rechenvorschrift  Differential. Wenn man Integration und Differentiation hintereinander ausführt, d.h. eine Funktion f(x) nach dx integriert und dann nach dx differenziert oder umgekehrt, erhält man wieder die ursprüngliche Funktion f(x).

Im Beispiel oben bedeutet dies, daß man nicht nur die Wassermenge aus dem Durchfluß berechnen sondern auch den umgekehrten Weg gehen kann. Man kann daher auch die durchgeflossene Wassermenge bestimmen (z.B. durch permanente Wägung des aufgefangenen Wassers) und daraus mittels Differentiation den Durchfluß berechnen. Diese Methode kann man beispielsweise dazu verwenden, um Durchflußsensoren zu kalibrieren, indem man den dank präziser Wägung recht genauen berechnenten Durchflußwert mit dem real gemessenen Wert des Durchflußsensors vergleicht.
  

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